《线性代数》期中考试（2016-2017学年春季学期）真题及参考答案。答案仅供参考。

填空题

1. 设 $A^{*}$ 为三阶方阵$A$的伴随矩阵, 且 $\det\left((A^{*})^{*}\right) = 16$, 而交换$A$的第一行和第三行得到矩阵$B$, 求 $\det \left(2B(A^2)^{-1}\right)$ 的值。
2. 若 $A = (a_{ij})$ 是三阶矩阵, $A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式, 现已知 $a_{ij} + A_{ij} = 0(i,j = 1,2,3)$, 求 $\det A$。
3. 已知 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶矩阵, $I$ 为 $n$ 阶单位矩阵, 若 $B = I + AB$, $C = A + CA$, 求 $B - C$。
4. 设 $\mathrm{rank}(A^3) \geqslant \mathrm{rank}(A,\boldsymbol{\beta})$, 说明方程组 $A\boldsymbol{x} = 7\boldsymbol{\beta}$ 的解的情况。
5. 给定 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是三个线性无关的三维列向量, 记矩阵

   $A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3),B = (\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 + 4\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_1 + 3\boldsymbol{\alpha}_2 + 9\boldsymbol{\alpha}_3)$

   如果 $A^2 = A$, 求 $\det B$。
6. 设齐次线性方程组$A\boldsymbol{x} = 0$的系数矩阵

   $A = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_n b_1 & a_n b_2 & \cdots & a_n b_n \end{pmatrix}$

   其中 $a_i b_j \not= 0 (i = 1,2,\cdots, m;\ j = 1,2,\cdots, n)$ , 求方程组 $A\boldsymbol{x} = 0$ 的基础解系中所含解向量的个数。

判断题

1. 若 $A,B,C,I$ 均为 $n$ 阶矩阵, $I$ 为 $n$ 阶单位矩阵,且 $ABC=I$, 则 $BCA=I$。
2. 若线性方程组 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\beta}$ 的导出组 $A\boldsymbol{x} = 0$只有零解, 则 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\beta}$ 有唯一解。
3. 向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关, 而 $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关, 则 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表出。
4. 若任意一个 $n$ 维向量都是齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x} = 0$ 的解向量, 则系数矩阵 $A$ 的秩为 $0$。

计算行列式的值

1. 计算

   $\begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \\ 10 & 5 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 7 \end{vmatrix}$

2. 计算

   $\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 0 & x & \cdots & x & x \\ 1 & x & 0 & \cdots & x & x \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & x & x & \cdots & 0 & x \\ 1 & x & x & \cdots & x & 0 \end{vmatrix}$

计算题

1. 设矩阵$A$的伴随矩阵

   $A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 8 \end{pmatrix},$

   且 $ABA^{-1} = BA^{-1} + 3I$, 其中 $I$ 为四阶单位矩阵, 求矩阵 $B$。
2. 已知$\boldsymbol{\alpha}_1 = (1,4,0,2)^\mathsf{T}, \boldsymbol{\alpha}_2 = (2,7,1,3)^\mathsf{T}, \boldsymbol{\alpha}_3 = (0,1,-1,a)^\mathsf{T}, \boldsymbol{\beta} = (3,10,b,4)^\mathsf{T}$, 问$a,b $取何值时, $\boldsymbol{\beta}$能由$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$线性表示？并写出其表达式.

证明题

1. 设向量$\boldsymbol{\beta}$能由$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$这三个向量线性表示且表示系数唯一, 证明：向量组$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$线性无关.

2. 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m$ 线性表示, 试证明：

   $\mathrm{rank}\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\} \leqslant \mathrm{rank}\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m\}$

3. 设 $A$ 为可逆矩阵, 且 $A$ 的每行元素之和均等于 $x$, 求证：
   (1) $x \not=0$；
   (2) $A^{-1}$ 的每行元素之和都等于 $x^{-1}$。

解方程组(四题中任选三题)

1. 解方程组

   $\begin{cases} x_1 - x_2 = 1 \\ x_2 - x_3 = 1 \\ x_3 - x_4 = 3 \\ x_4 - x_1 = -1 \end{cases}$

2. 给定方程组

   $\left\{ \begin{alignedat}{5} (1+a)x_1 &\ +\ & x_2 &\ +\ & \cdots &\ +\ & x_n & = &\ 0 \\ 2x_1 &\ +\ & (2+a)x_2 &\ +\ & \cdots &\ +\ & 2x_n & = &\ 0 \\ \cdots & & \cdots & & \cdots & & \cdots & & \\ n x_1 &\ +\ & nx_2 &\ +\ & \cdots &\ +\ & (n+a)x_n & = &\ 0 \\ \end{alignedat} \right.\ (n \geqslant 2).$

   问 $a$ 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.
3. 设$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\beta}$为四维列向量, $A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4)$, 已知$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\beta}$的通解为

   $\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} 1 \\-1\\2\\1 \end{pmatrix} + k_1\begin{pmatrix} 1 \\2\\0\\1 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} -1 \\1\\1\\0 \end{pmatrix},$

   令$B = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3)$, 试求$B\boldsymbol{y} = \boldsymbol{\beta}$的通解.
4. 已知线性方程组

   $\left\{ \begin{alignedat}{5} a_{11}x_1 &\ +\ & a_{12}x_2 &\ +\ & \cdots &\ +\ & a_{1,2n}x_{2n} & =\ & 0 \\ a_{21}x_1 &\ +\ & a_{22}x_2 &\ +\ & \cdots &\ +\ & a_{2,2n}x_{2n} & =\ & 0 \\ \cdots & & \cdots & & \cdots & & \cdots & & \\ a_{n1}x_1 &\ +\ & a_{n2}x_2 &\ +\ & \cdots &\ +\ & a_{n,2n}x_{2n} & =\ & 0 \\ \end{alignedat}\right.$

   的一个基础解系是

   $\begin{pmatrix} b_{11} \\b_{12}\\ \vdots \\b_{1,2n} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} b_{21} \\b_{22}\\ \vdots \\b_{2,2n} \end{pmatrix}, \cdots, \begin{pmatrix} b_{n1} \\b_{n2}\\ \vdots \\b_{n,2n} \end{pmatrix}.$

   试写出方程组

   $\left\{ \begin{alignedat}{5} b_{11}y_1 &\ +\ & b_{12}y_2 &\ +\ & \cdots &\ +\ & b_{1,2n}y_{2n} & =\ & 0 \\ b_{21}y_1 &\ +\ & b_{22}y_2 &\ +\ & \cdots &\ +\ & b_{2,2n}y_{2n} & =\ & 0 \\ \cdots & & \cdots & & \cdots & & \cdots & & \\ b_{n1}y_1 &\ +\ & b_{n2}y_2 &\ +\ & \cdots &\ +\ & b_{n,2n}y_{2n} & =\ & 0 \\ \end{alignedat}\right.$

   的通解, 并说明理由.

答案

填空题

1. $\pm 4$；
2. $-1$；
3. $I$；
4. 有解；
5. $2$；
6. $n-1$。

判断题

1. 正确；
2. 错误；
3. 错误；
4. 正确。

计算行列式的值

1. $0$；
2. $(-1)^{n-1}(n-1)x^{n-2}$。

计算题

1. $B = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

2. $b=0$。
   当 $a = 1$ 时, $\boldsymbol{\beta} = (-1-2k)\boldsymbol{\alpha}_1 + (2+k)\boldsymbol{\alpha}_2 + k\boldsymbol{\alpha}_3$；
   当 $a \not= 1$ 时, $\boldsymbol{\beta} = -\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2$。

证明题

略。

解方程组

略。