试题

第一题

已知信号 $f(t)$ 与 $g(t)$ 如图所示，计算卷积 $f(t) * g(t)$ 并画出其波形。（20分）

第二题

考虑一离散时间 LTI 系统，其单位脉冲响应为 $\displaystyle h[n] = \left( \frac{1}{2} \right)^n u[n]$ ，
求输入 $\displaystyle x[n] = \left( \frac{3}{4} \right)^n u[n]$ 下的响应。（10分）

第三题

一离散时间 LTI 系统，其单位脉冲响应为

$h[n] = \left( \frac{1}{2} \right)^n u[n]$

已知系统的输入为周期信号

$x[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta[n-4k]$

求输入 $x[n]$ 的傅里叶级数；（10分）
求输出 $y[n]$ 的傅里叶级数。（10分）

解答

第一题

TODO…

第二题

显然当 $n < 0$ 时输出信号为 $0$ 。于是考虑 $n \geqslant 0$ 的情形。显然此时

$y[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{3}{4} \right)^k \left( \frac{1}{2} \right)^{n-k} = \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{n+1} - 1 \right]$

所以

$y[n] = \boxed{\left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{n+1} - 1 \right]u[n]}$

第三题

显然 $x[n]$ 的周期 $N = 4$ ，所以其傅里叶系数 $a_{k}$ 为
$a_{k} = \frac{1}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} x[n] \mathrm{e}^{-j\frac{2\pi}{N}kn} = \frac{1}{N} = \frac{1}{4}$
于是
$x[n] = \boxed{\sum_{k=\langle 4 \rangle} \frac{1}{4}\mathrm{e}^{j\frac{\pi}{2}kn}}$
计算得知
$H\left( \mathrm{e}^{j\frac{2\pi}{N}k} \right) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n]\mathrm{e}^{-j\frac{2\pi}{N}kn} = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{2}\mathrm{e}^{-j\frac{2\pi}{N}k} \right)^n = \frac{1}{1-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-j\frac{2\pi}{N}k}}$
于是
$y[n] = \sum_{k=\langle N \rangle} a_{k}H\left( \mathrm{e}^{j\frac{2\pi}{N}k} \right)\mathrm{e}^{j\frac{2\pi}{N}kn} = \boxed{\sum_{k=\langle 4 \rangle} \frac{1}{4}\frac{1}{1-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-j\frac{2\pi}{N}k}}\mathrm{e}^{j\frac{2\pi}{N}kn}}$