《信号与系统》期中考试(2020-2021学年春季学期)真题及参考答案

《信号与系统》期中考试(2020-2021学年春季学期)真题及参考答案。答案仅供参考。

本卷满分为50分。

试题

第一题

已知信号 f(t)f(t)g(t)g(t) 如图所示,计算卷积 f(t)g(t)f(t) * g(t) 并画出其波形。(20分)

第二题

考虑一离散时间 LTI 系统,其单位脉冲响应为 h[n]=(12)nu[n]\displaystyle h[n] = \left( \frac{1}{2} \right)^n u[n]
求 输入 x[n]=(34)nu[n]\displaystyle x[n] = \left( \frac{3}{4} \right)^n u[n] 下的响应。(10分)

第三题

一离散时间 LTI 系统,其单位脉冲响应为

h[n]=(12)nu[n]h[n] = \left( \frac{1}{2} \right)^n u[n]

已知系统的输入为周期信号

x[n]=k=+δ[n4k]x[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta[n-4k]

  1. 求输入 x[n]x[n] 的傅里叶级数;(10分)
  2. 求输出 y[n]y[n] 的傅里叶级数。(10分)

解答

第一题

TODO…

第二题

显然当 n<0n < 0 时输出信号为 00。于是考虑 n0n \geqslant 0 的情形。显然此时

y[n]=k=0(34)k(12)nk=(12)n1[(32)n+11] y[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{3}{4} \right)^k \left( \frac{1}{2} \right)^{n-k} = \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{n+1} - 1 \right]

所以

y[n]=(12)n1[(32)n+11]u[n]y[n] = \boxed{\left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^{n+1} - 1 \right]u[n]}

第三题

  1. 显然 x[n]x[n] 的周期 N=4N = 4,所以其傅里叶系数 aka_{k}

    ak=1Nn=Nx[n]ej2πNkn=1N=14a_{k} = \frac{1}{N}\sum_{n=\langle N \rangle} x[n] \mathrm{e}^{-j\frac{2\pi}{N}kn} = \frac{1}{N} = \frac{1}{4}

    于是

    x[n]=k=414ejπ2knx[n] = \boxed{\sum_{k=\langle 4 \rangle} \frac{1}{4}\mathrm{e}^{j\frac{\pi}{2}kn}}

  2. 计算得知

    H(ej2πNk)=n=+h[n]ej2πNkn=n=0+(12ej2πNk)n=1112ej2πNk H\left( \mathrm{e}^{j\frac{2\pi}{N}k} \right) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n]\mathrm{e}^{-j\frac{2\pi}{N}kn} = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{1}{2}\mathrm{e}^{-j\frac{2\pi}{N}k} \right)^n = \frac{1}{1-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-j\frac{2\pi}{N}k}}

    于是

    y[n]=k=NakH(ej2πNk)ej2πNkn=k=4141112ej2πNkej2πNkn y[n] = \sum_{k=\langle N \rangle} a_{k}H\left( \mathrm{e}^{j\frac{2\pi}{N}k} \right)\mathrm{e}^{j\frac{2\pi}{N}kn} = \boxed{\sum_{k=\langle 4 \rangle} \frac{1}{4}\frac{1}{1-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-j\frac{2\pi}{N}k}}\mathrm{e}^{j\frac{2\pi}{N}kn}}

文章作者: Koyamin
文章链接: http://koyamin.com/2021/07/17/信号与系统期中考试真题/
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